آشنایی با مالی محاسباتی و اقتصاد سنجی مالی با r

مشکل سرمایه گذاری زیر را در نظر بگیرید. ما می توانیم در سال آینده در دو دارایی (a ) (سهام آمازون) و (b ) (سهام بوئینگ) سرمایه گذاری کنیم و می خواهیم بدانیم که با توجه به این سرمایه گذار چقدر سرمایه گذاری می کنیم تا سرمایه گذار را خوشحال کندفرضیات مربوط به توزیع بازده و ترجیحات ریسک از زیر بخش قبلی. بگذارید (r_ ) و (r_ ) به ترتیب بازده های ساده سالانه دارایی های (a ) و (b ) را نشان دهند. 60 این بازده ها به عنوان متغیرهای تصادفی تحت درمان قرار می گیرند زیرا بازده تا پایان سال تحقق نمی یابد. ما فرض می کنیم که بازده (r_ ) و (r_ ) به طور مشترک توزیع می شوند ، و ما اطلاعات زیر را در مورد میانگین ، واریانس ها و کواریانس های توزیع احتمال دو بازده داریم:

ما فرض می کنیم که این مقادیر همانطور که داده می شود گرفته می شود. در عمل ، آنها را می توان از داده های بازگشت تاریخی برای دو سهام تخمین زد ، یا می تواند حدس های ذهنی توسط سرمایه گذار باشد.

جدول 11. 1: داده های مثال برای دو نمونه کارها دارایی

11. 2. 1 مشکل نمونه کارها

مشکل نمونه کارها به شرح زیر است. سرمایه گذار مقدار معینی از ثروت اولیه (W_ ) دارد که برای یک دوره (به عنوان مثال ، یک ماه یا یک سال) سرمایه گذاری می شود. سرمایه گذار فقط می تواند در دو دارایی خطرناک (A ) و (B ) سرمایه گذاری کند و تمام ثروت باید در این دو دارایی سرمایه گذاری شود. سرمایه گذار باید تصمیم بگیرد که چقدر ثروت برای قرار دادن دارایی (a ) و چقدر باید در دارایی (b ) قرار دهد. بگذارید (x_ ) و (x_ ) سهام ثروت سرمایه گذاری شده در دارایی (a ) و (b ) را به ترتیب نشان دهند. مقادیر (x_ ) و (x_ ) می توانند مثبت یا منفی باشند. مقادیر مثبت نشانگر موقعیت های طولانی (خریدها) در دارایی ها است. مقادیر منفی نشانگر موقعیت های کوتاه (فروش) است. 63 از آنجا که تمام ثروت در دو سرمایه گذاری قرار گرفته است ، نتیجه می گیرد که (x_+x_ = 1 ). اگر دارایی (A ) کوتاه شود ، فرض بر این است که درآمد حاصل از فروش کوتاه برای خرید بیشتر دارایی (b ) و برعکس استفاده می شود.

با استفاده از خواص ترکیبات خطی متغیرهای تصادفی از فصل 2

از این رو ، بازگشت نمونه کارها دارای توزیع عادی زیر است: [r_

sim n ( mu_

، sigma_

^). ]

با توجه به توزیع بازگشت نمونه کارها ، ثروت پایان دوره است

که یک تابع خطی از بازگشت نمونه کارها تصادفی است (R_

)نتیجه می شود که

به طوری که توزیع (W_ ) طبیعی است:

خط سوم از خطی بودن اپراتور انتظارات استفاده می کند و خط چهارم از تعریف واریانس و کواریانس استفاده می کند.

توجه داشته باشید که واریانس نمونه کارها میانگین وزنی واریانس دارایی های فردی به علاوه دو برابر محصول وزن نمونه کارها است که دو برابر کواریانس بین دارایی ها است. اگر وزن نمونه کارها هر دو مثبت باشد ، یک کواریانس مثبت تمایل به افزایش واریانس نمونه کارها خواهد داشت ، زیرا هر دو بازده تمایل به حرکت در یک جهت دارند و یک کواریانس منفی تمایل به کاهش واریانس نمونه کارها دارد زیرا بازده تمایل دارد در جهت های مخالف حرکت کند. بنابراین یافتن دارایی با بازده همبستگی منفی می تواند هنگام تشکیل اوراق بهادار بسیار مفید باشد زیرا خطر ، همانطور که با انحراف استاندارد نمونه کارها اندازه گیری می شود ، می تواند کاهش یابد. آنچه تعجب آور است این است که تشکیل اوراق بهادار با دارایی های همبسته مثبت نیز می تواند خطر را کاهش دهد تا زمانی که همبستگی خیلی بزرگ نباشد. ما این نتایج را با مثال های زیر نشان می دهیم.

Consider creating some portfolios using the asset information in Table 11.1. The first portfolio is an equally weighted portfolio with (x_=x_=0.5) . Using (11.4)-(11.6), we have: [x08egin mu_> & =(0.5)cdot(0.175)+(0.5)cdot(0.055)=0.115\ sigma_>^ & =(0.5)^cdot(0.067)+(0.5)^cdot(0.013)\ & +2cdot(0.5)(0.5)(-0.004866)\ & =0.01751\ sigma_>& = sqrt = 0. 1323 end ] این نمونه کارها انتظار داشته است که بازده نیمه راه بین بازده مورد انتظار دارایی ها (a ) و (b ) باشد ، اما انحراف استاندارد نمونه کارها کمتر از نیمه راه بین دارایی استانحراف معیار. این نشان دهنده کاهش خطر از طریق تنوع است. در اینجا ، تنوع به معنای سرمایه گذاری ثروت در دو دارایی به جای سرمایه گذاری ثروت در یک دارایی واحد است. در R ، پارامترهای نمونه کارها با استفاده از:

Next, consider a long-short portfolio with (x_=1.5) and (x_=-0.5) . In this portfolio, asset (B) is sold short and the proceeds of the short sale are used to leverage the investment in asset (A) . 66 The portfolio characteristics are: [x08egin mu_> & =(1.5)cdot(0.175)+(-0.5)cdot(0.055)=0.235\ sigma_>^ & =(1.5)^cdot(0.067)+(-0.5)^cdot(0.013)\ & +2cdot(1.5)(-0.5)(-0.004866)\ & =0.1604\ sigma_>& = sqrt = 0. 4005 end ] این نمونه کارها دارای بازده مورد انتظار بالاتر و هم انحراف استاندارد نسبت به دارایی (A ) است. انحراف استاندارد بالا به دلیل فروش کوتاه است که نوعی اهرم است و همبستگی منفی بین دارایی ها (a ) و (b ). در R ، پارامترهای نمونه کارها با استفاده از:

در مثال بالا ، نمونه کارها به همان اندازه وزنی انتظار داشته است که بین بازده مورد انتظار دارایی های A و B بازده بازده داشته باشد ، اما دارای انحراف استاندارد (نوسانات) است که بین انحراف استاندارد دو دارایی کمتر از نیمی از راه است. برای پرتفوی های طولانی ، می توانیم نشان دهیم که این یک نتیجه کلی است تا زمانی که همبستگی بین دو دارایی کاملاً مثبت نباشد.

گزاره 11. 1 نمونه کارها از دو دارایی A و B را با وزن پرتفوی (x_ geq0 ) و (x_ geq0 ) در نظر بگیرید تا (x_+x_ = 1. ) سپس اگر ( rho_ neq1)

اثبات ساده است. از ( sigma _ = rho_ sigma_ sigma_ ) استفاده کنید و بنویسید

شکل 11. 1 ویژگی های بازگرداندن ریسک دارایی های A و B و همچنین پرتفوی به همان اندازه وزن و کوتاه (به ترتیب با برچسب P1 و P2) را نشان می دهد. خط نقطه ای که نقاط A و B را به هم وصل می کند ، نشان دهنده بازپرداخت خطوط خطی از اوراق بهادار دارایی های A و B است ، که اگر ( rho_ = 1 ) رخ دهد. نکته P1 ، که نمایانگر نمونه کارها به همان اندازه با وزن طولانی است ، انتظار می رود که بین بازده مورد انتظار دارایی های A و B بازگردد ، اما دارای انحراف استاندارد کمتر از نیمه راه بین انحرافات استاندارد دارایی های A و B است. در نتیجه ، P1 در سمت چپ خط نقطه قرار دارد که نشان دهنده سود کاهش خطر برای نمونه کارها است. در مقابل ، نقطه P2 ، که نمایانگر سبد کوتاه کوتاه است ، در سمت راست خط نقطه ای قرار دارد که نشان دهنده هزینه تورم ریسک نمونه کارها به دلیل اهرم است.

شکل 11. 1: ویژگی های بازگرداندن ریسک دارایی های A و B ، نمونه کارها به همان اندازه وزن P1 و پرتفوی بلند کوتاه P2.

11. 2. 2 نمونه کارها ارزش در معرض خطر است

سرمایه گذاری اولیه ( $ w_ ) را در نمونه کارها دارایی ها (a ) و (b ) با بازده داده شده توسط (11. 3) ، بازده مورد انتظار داده شده توسط (11. 4)) و واریانس داده شده توسط (11. 5) در نظر بگیرید.). سپس (r_

sim n ( mu_

، sigma_

^) ). برای ( alpha in (0،1) ) ، ( alpha times100 ٪ ) نمونه کارها ارزش-خطر توسط:

where (q_^>) ( alpha ) -quantile توزیع (r_

) و توسط

که در آن (q _^) ( alpha ) -quantile توزیع عادی استاندارد است. 67

رابطه بین نمونه کارها VAR و دارایی های فردی VAR چیست؟آیا نمونه کارها VAR میانگین وزنی دارایی های دارایی فردی است؟به طور کلی ، VAR نمونه کارها میانگین وزنی از دارایی VAR نیست. برای دیدن این موضوع ، میانگین وزنی نمونه کارها را در مقادیر بازگشت دارایی فردی در نظر بگیرید:

مقدار دارایی وزنی (11. 9) برابر با مقدار نمونه کارها (11. 8) نیست ، مگر اینکه ( rho_ = 1 ). از این رو ، دارایی وزنه بردار به طور کلی برابر با نمونه کارها VAR نیست زیرا Quantile (11. 9) یک ارتباط کاملاً مثبت بین (r_ ) و (r_ ) فرض می کند.

یک سرمایه گذاری اولیه (w _ = 100،000 $ ) را در نظر بگیرید. با فرض اینکه بازده ساده است ، 5 ٪ VAR در دارایی ها (A ) و (B ) عبارتند از:

5 ٪ VAR در نمونه کارها وزنی برابر با (x_ = x_ = 0. 5 ):

با استفاده از R ، این محاسبات عبارتند از:

مثال قبلی از محاسبات R تکراری برای محاسبه 5 ٪ VAR برای انواع سرمایه گذاری استفاده شده است. یک روش جایگزین ایجاد یک تابع R برای محاسبه var داده شده ( mu ) ، ( sigma ) ، ( alpha ) (احتمال var) و (w_ ) است ، و سپس عملکرد را اعمال کنیدبا استفاده از ورودی های دارایی های مختلف. یک تابع ساده برای محاسبه VAR بر اساس بازده دارایی معمولی توزیع شده:

شما یک تابع R را با استفاده از عملکرد () ایجاد می کنید. هر تابع R دارای مجموعه ای از آرگومان ها یا ورودی ها است. در اینجا ، آرگومان ها بردارهای (N Times 1 ) MU و Sigma ، Scalars W0 و Alpha و معکوس مقدار منطقی هستند. مقادیر پیش فرض برای آلفا و اینورت در تعریف عملکرد مشخص شده است. بدنه عملکرد در بریس ها تعریف می شود<>، و مقدار بازگشت عملکرد با استفاده از Retu () مشخص شده است. در اینجا ، ابتدا بررسی می کنیم که ورودی های MU و Sigma از همان طول هستند و احتمال دم ( alpha ) بین 0 تا 1 است. سپس ، ما VAR طبیعی را با استفاده از (11. 7) محاسبه می کنیم. اگر INVERT = TRUE نتیجه را با (-1 ) ضرب می کنیم. سرانجام ، ما بردار مقادیر VAR را برمی گردانیم. پس از اجرای کدی که عملکرد NormalVar () را تعریف می کند ، در جلسه R برای استفاده مانند هر عملکرد R دیگر در دسترس خواهد بود.

با استفاده از تابع NormalVar () ، مقادیر 5 ٪ VAR دارایی (A ) ، (B ) و نمونه کارها به همان اندازه وزن عبارتند از:

11. 2. 3 مجموعه اوراق بهادار عملی

اوراق بهادار 1-4 و 16-19 پرتفوی بلند کوتاه و پرتفوی 5-15 پرتفوی طولانی هستند. در R ، خواص بازده ریسک این مجموعه از اوراق بهادار امکان پذیر با استفاده از:

شکل 11. 2: مرزهای نمونه کارها از داده های مثال.

توجه کنید که طرح در ( ( mu_

، sigma_

) ) -pace به نظر می رسد مانند یک پارابولا در سمت خود (در واقع ، این یک طرف از Hyperbola است). این طرح اغلب به عنوان گلوله Markowitz گفته می شود زیرا شبیه شکل گلوله ای است که به سمت محور Y می رود. نقاط سیاه به علاوه نقطه سبز نمایانگر پرتفوی های طولانی است و نقاط آبی نمایانگر پرتفوی بلند کوتاه هستند. نقطه سیاه با عنوان "Asset A" نمونه کارها ((x_ = 1 ، x_ = 0) ) است ، و نقطه سیاه دارای برچسب "دارایی B" نمونه کارها است ((x_ = 0 ، x_ = 1) )بشر

11. 2. 4 محاسبه نمونه کارها حداقل واریانس جهانی

نمونه کارها حداقل واریانس جهانی نقش اساسی در تئوری نمونه کارها با واریانس دارد و مهم است که بدانید چگونه می توان وزن آن را تعیین کرد. در اینجا ، ما نشان می دهیم که این یک تمرین ساده در حساب برای یافتن وزن جهانی واریانس جهانی است. ما مشکل بهینه سازی محدود 68 را حل می کنیم:

این مشکل بهینه سازی محدود با استفاده از دو روش قابل حل است. روش اول ، با نام روش جایگزینی ، از محدودیت برای جایگزینی یکی از متغیرها برای تبدیل مشکل بهینه سازی محدود در دو متغیر به یک مشکل بهینه سازی نامشخص در یک متغیر استفاده می کند. روش دوم با نام روش ضرب LaGrange ، یک متغیر کمکی به نام LaGrange Multiplier را معرفی می کند و مشکل بهینه سازی محدود را در دو متغیر به یک مشکل بهینه سازی نامشخص در سه متغیر تبدیل می کند.

بازده مورد انتظار ، واریانس و انحراف استاندارد این نمونه کارها عبارتند از:

[ شروع mu_

& = (0. 2021) CDOT (0. 175)+(0. 7979) CDOT (0. 055) = 0. 07925 \ sigma_

^& = (0. 2021)^ cdot (0. 067) +(0. 7979)^ cdot (0. 013) \ & +2 cdot (0. 2021) (0. 7979) (-0. 004875) \ & = 0. 00975 \ sigma_

& = sqrt = 0. 09782.پایان]

در R ، محاسبات برای محاسبه حداقل وزن جهانی نمونه کارها و بازده و نوسانات مورد انتظار آن عبارتند از:

11. 2. 5 همبستگی و شکل مرز نمونه کارها

با توجه به پارامترهای دیگر ، شکل امکانات سرمایه گذاری با همبستگی بین دارایی (A ) و (B ) بسیار حساس است. ما این حساسیت را با محاسبه مرزهای نمونه کارها برای داده های مثال برای ( rho_ = -0. 9 ، -0. 5 ، 0 ، 0. 5 ، 0. 9 ) نشان می دهیم. شکل 11. 3 این مرزهای نمونه کارها را نشان می دهد.

شکل 11. 3: مرزهای پرتفوی به عنوان تابعی از همبستگی.

انحنای مرز پرتفوی با مقدار ( rho_ ) تعیین می شود. نزدیکتر ( rho_ ) ب ه-1 خمیده تر مرز به سمت محور y است و بالاتر از مزایای تنوع احتمالی است. آنچه شاید از شکل 11. 3 تعجب آور باشد این است که حتی برای مقادیر مثبت ( rho_ ) انحنای قابل توجهی وجود دارد.

شکل 11. 4: اوراق بهادار با ( rho_ = 1 ) و ( rho _ =-1 ).

اگر سهام سود سهام را بپردازد ، بازده به عنوان کل بازده محاسبه می شود.

همبستگی منفی کوچک بین دو بازده سهام کمی غیرمعمول است ، زیرا بیشتر بازده سهام با همبستگی مثبت دارند. همبستگی منفی به گونه ای فرض می شود که چهره های خاصی که بعداً تولید می شوند زیبا به نظر می رسند و خواندن آن آسان است.↩︎

ما از تابع KableExtra KBL () برای چاپ جداول فرمت شده خوب از یک داده استفاده می کنیم.

برای کوتاه کردن دارایی ، یک دارایی را معمولاً از یک کارگزار وام می گیرد و سپس آن را می فروشد. درآمد حاصل از فروش کوتاه معمولاً با یک کارگزار در نظر گرفته می شود و ممکن است محدودیت هایی در استفاده از این وجوه برای خرید سایر دارایی ها وجود داشته باشد. موقعیت کوتاه هنگام خرید دارایی بسته می شود و سپس به مالک اصلی باز می گردد. اگر دارایی در ارزش کاهش یابد ، در فروش کوتاه سود حاصل می شود و اگر دارایی در ارزش افزایش یابد ، ضرر ایجاد می شود. برای اطلاعات بیشتر در مورد دارایی های فروش کوتاه به فصل 13 مراجعه کنید

به بخش 2 بخش 2. 1 مراجعه کنید.

اهرم به سرمایه گذاری است که از طریق وام گرفتن تأمین می شود. در اینجا ، فروش کوتاه دارایی B وجوه وام گرفته شده مورد استفاده برای خرید بیشتر دارایی A. را تولید می کند. این باعث افزایش ریسک (انحراف استاندارد نمونه کارها) سرمایه گذاری می شود.

اگر (r_

) is a continuously compounded retu then the implied simple retu quantile is (q_^>= exp ( mu_

+ sigma_

q _^)-1 ) .↩︎

مروری بر بهینه سازی و بهینه سازی محدود در پیوست این فصل ارائه شده است.